Biografi Carl Friedrich Gauss

Biografi Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss dilahirkan pada tanggal 30 April 1777 di kota Brunswick, Jerman. Ibunya bernama Dorothea Benze dan ayahnya bernama Gebhard Dietrich Gauss.

Ibu Gauss dikenal cerdas, tetapi ia buta huruf. Ayah Gauss memenuhi kebutuhan keluarganya dengan cara apa pun baik itu bekerja pada waktu yang berbeda sebagai asisten penjual, tukang daging, tukang batu, tukang kebun, dan bendahara untuk perusahaan asuransi lokal.

Masa Kecil

Sejak awal, Carl Friedrich Gauss menunjukkan bakat luar biasa dalam bidang matematika khusunya angka-angka. Ia bisa menghitung sebelum dia belajar berbicara. Pada tahun 1782, Saat Carl Friedrich Gauss berusia tujuh tahun, ia mulai di Sekolah St. Katherine. Terdapat kisah-kisah lucu saat ia bersekolah

dimana dia membuat bingung gurunya dengan menghitung lebih cepat daripada yang bisa dilakukan oleh gurunya yang bernama Büttner. Meskipun Carl Friedrich Gauss berasal dari keluarga petani sederhana, Gurunya Büttner mengakui bahwa suatu hari anak itu bisa menjadi seorang profesor di universitas yang hebat jika seseorang memberinya kesempatan untuk belajar lebih.

Dalam biografi Carl Friedrich Gauss diketahui bahwa pada tahun 1788, di usia 11 tahun, ia mulai bersekolah tata bahasa di Martino-Katharineum, di mana ia sangat cerdas dalam hal Matematika, Bahasa Yunani Kuno, Latin, dan Modern.

Pada tahun 1792, saat Carl Friedrich Gauss berusia 15 tahun, ia masuk ke Caroline College. Pada saat dia berusia 18 tahun, dia telah menyelesaikan gelarnya dalam bidang matematika.

Carl Friedrich Gauss sangat bersemangat tentang perkembangan ilmu pengetahuan yang dibuat oleh Isaac Newton, Leonhard Euler, dan Joseph-Louis Lagrange. Namun Pahlawan Carl Friedrich Gauss adalah Archimedes.

Menemukan Teori Bilangan dan Konstruksi Heptadecagon

Dengan penemuan konstruksi heptadecagon ini, Gauss menyadari bahwa tempatnya dalam sejarah sebagai seorang matematikawan akan dikenang.

Carl Friedrich Gauss menyimpan buku harian penemuannya, dimulai dengan heptadecagon. Dalam buku harian itu, terdapat 146 penemuan, namun hilang selama lebih dari 40 tahun setelah kematiannya. Di zamannya sebagai mahasiswa, Gauss membuat banyak membuat penemuan penting misalnya teori bilangan.

Duke of Brunswick terus mendanai karya Gauss, jadi ia bebas untuk menyelidiki bidang apa pun yang menarik baginya. Pada tahun 1801, Saat Carl Friedrich Gauss berusia 24 tahun, ia menerbitkan salah satu karya terbesar dalam sejarah matematika yakni Disquisitiones Arithmeticae. Dia memilih untuk menulis buku dalam bahasa Latin klasik yang sempurna. Carl Friedrich Gauss menulis sebagian besar buku itu dalam waktu tiga tahun sebelum diterbitkan. Di dalamnya ia mencatat bukti formal dari banyak penemuan sebelumnya.

Disquisitiones Arithmeticae merupakan buku yang menyatukan helai yang terpisah dari sebuah teori bilangan. Di sinilah teori bilangan modern dimulai. Carl Friedrich Gauss mendokumentasikan terobosan signifikan, seperti hukum timbal balik kuadrat, perumusan aritmatika modular modern, dan kesesuaian gagasan yang mendukung pendekatan terpadu untuk teori bilangan.

 

Tokoh Matematika Al Khawarizmi

 Al Khawarizmi

Tahukah Kamu siapa yang menemukan angka nol? Ya, dia adalah seorang Muslim berkebangsaan Persia yang bernama Muhammad bin Musa al Khawarizmi. Beliau merupakan ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi. Kehidupan beliau dihabiskan dengan mengukir karya-karyanya terutama di bidang sains. Beliau lahir sekitar tahun 780 M di Khwarizm (sekarang Khiva, Uzbekistan). Ada beberapa versi tentang kelahiran beliau, ada yang mengatakan di Bukhara, dan ada juga yang mengatakan di Khwarizm, salah satu Provinsi di Negara Uzbekistan. Khawarizmi adalah seorang ilmuwan jenius pada masa keemasan Islam di kota Baghdad, pusat pemerintahan Kekhalifahan Abbasiyah. Ia  sangat berjasa besar dalam mengembangkan ilmu aljabar dan aritmetika. Beliau pun dikenal dengan sebutan “Father Of Algebra” atau “Bapak Aljabar”. Banyak hal yang telah ditemukan beliau, yang tentunya bermanfaat bagi umat manusia. Salah satu dan yang termashyur adalah Aljabar. Aljabar merupakan materi yang banyak dipelajari di seluruh dunia. Aljabar adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang pemecahan masalah menggunakan simbol - simbol sebagai pengganti konstanta dan variabel. Aljabar sendiri berasal dari kata “al – jabr” yang artinya penyelesaian. Al-jabar banyak dimanfaatkan di dunia dan menjadi salah satu materi yang wajib diajarkan di sekolah-sekolah. Selain Aljabar, beliau juga menemukan ilmu Falaq (ilmu astronomi) yaitu ilmu pengetahuan tentang bintang-bintang yang melibatkan kajian tentang kedudukan, Belum selesai di bidang astronomi, beliau juga adalah penemu istilah Algoritma. Pengertian algoritma sendiri yaitu langkah-langkah yang logis mengenai penyelesaian masalah yang di susun secara sistematis dan logis. Algoritma sering kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Dan merupakan ilmu yang sangat berpengaruh dalam bidang komputer. Algoritma adalah mata kuliah wajib yang menjadi dasar pembuatan program komputer.Semasa hidupnya, ia membuat banyak sekali karya tulis, termasuk tentang Al Jabar.

Tokoh Matematika Thales

 

Thales (Yunani, 624-546 SM)

    Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.

    Teorema Thales

    Di dalam geometri, Thales dikenal karena menyumbangkan apa yang disebut teorema Thales, kendati belum tentu seluruhnya merupakan buah pikiran aslinya.Teorema Thales berisi sebagai berikut:

Jika AC adalah sebuah diameter, maka sudut B adalah selalu sudut siku-siku

Teorema Thales: 

• 1. Sebuah lingkaran terbagi dua sama besar oleh diameternya.
• 2. Sudut bagian dasar dari sebuah segitiga samakaki adalah sama besar.
• 3. Jika ada dua garis lurus bersilangan, maka besar kedua sudut yang saling berlawanan akan sama.
• 4. Sudut yang terdapat di dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.
• 5. Sebuah segitiga terbentuk bila bagian dasarnya serta sudut-sudut yang bersinggungan dengan bagian dasar tersebut telah ditentukan.

Tokoh Matematika Johann Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss

 

Adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi, termasuk teori bilangan,aljabar , statistik, analisis, geometri diferensial, geodesi, geofisika,elektrostatika, astronomi, dan optic.

Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archidemes dan Issac newton.

Carl Friedrich Gauss lahir di Brunswick, Duchy of Brunswick-Wolfenbüttel, Kekaisaran Romawi Suci pada 30 April 1777. Saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya.

Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu.

Gauss adalah seorang anak ajaib. Ia membuat penemuan matematika pertamanya saat masih remaja. Ia menyelesaikan ilmu hitung Disquisitiones, magnum opus, pada tahun 1798 pada usia 21, meskipun tidak dipublikasikan sampai 1801.

Kemampuan intelektual Gauss menarik perhatian dari Duke of Brunswick, yang mengirimnya ke Collegium Carolinum (sekarang Braunschweig University of Technology ), yang dihadiri 1792-1795, dan ke Universitas Göttingen 1795-1798. Sementara di universitas, Gauss secara mandiri menemukan kembali beberapa teorema penting

Gauss melakukan penelitiannya di observatorium astronomi di gottingen, kota kecil di jantung jerman. Yang dengan segera menciptakan tradisi matematis yang membuat Gottingen dan universitasnya menjadi pusat matematika dunia.

Nama Gauss mulai terkenal sehingga merencanakan menggunakan bahan-bahan dalam buku itu untuk disertasi doktoral, namun pihak penerbit menolak. Dicari judul lain sebelum akhirnya didapat judul panjang, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus revolvi posse yang terbit lebih awal, tahun 1799. Isi tesis doktoral adalah membuktikan theorema dasar aljabar – membuktikan bahwa polinomial pangkat n (kuadrat adalah pangkat 2 dan kubik adalah pangkat 3, quartik adalah pangkat 4 dan seterusnya) mempunyai (hasil) akar pangkat n juga. Hal tersebut baru valid (sahih) apabila perlakuan terhadap bilangan imajiner sama seperti bilangan riil.

Untuk bilangan riil:

x4 + 2x³ + 9 = 0 akan mempunyai 4 hasil (bilangan) akar

x³ + x² + 2x + 4 = 0 akan mempunyai 3 hasil (bilangan) akar.

Untuk bilangan imajiner:

x² + 4 = 0 tidak dapat diselesaikan apabila bilangan riil yang dipakai.

Hasil yang diperoleh adalah x = ± √-4, atau x = ± 2√-1. Seperti dinyatakan oleh Euler bahwa ekspresi √- 1 dan √-2 tidak dimungkinkan atau merupakan bilangan-bilangan imajiner, karena akar bilangan adalah negatif; sesuatu tidak ada apa-apa (nothing) karena bukan bilangan dan bukan pula bilangan yang lebih besar dari sesuatu tidak ada (nothing).* Gauss menyatakan bahwa bilangan negatif juga termasuk dalam sistim bilangan.

Tokoh Matematika Leonardo Pisano Fibonacci

 Leonardo Pisano Fibonacci

B I O G R A F I T O K O H

    Dikenal juga dengan Leonard of Pisa, Fibonacci adalah seorang ahli teori angka asal Italia. Diyakini Leonardo Pisano Fibonacci lahir pada abad ke-13, kurang lebih di tahun 1170 dan meninggal tahun 1250. Dia lahir di Italia namun memperoleh pendidikannya di Afrika Utara.Sangat sedikit informasi mengenai biografi tentangnya, seperti latar belakang keluarga dan sebagainya, bahkan tidak ditemukan gambar dirinya. Kebanyakan informasi tentang Fibonacci hanya didapat dari catatan-catatan otobiografi yang tercantum 

dalam buku-bukunya yang ia tulis. Namun demikian, Fibonacci dianggap sebagai salah satu matematikawan paling berbakat di abad pertengahan. Beberapa ahli meyakini bahwa Fibonacci lah yang mula-mula mengenalkan sistem angka desimal (sistem angka Hindu-Arabis) menggantikan sistem angka Romawi. Saat ia belajar matematika, ia menggunakan simbol-simbol Hindu-Arabis (0-9), bukannya menggunakan simbol angka Romawi yang tidak memiliki angka nol. Dan memang nyatanya, ketika menggunakan sistem angka Romawi, hampir selalu dibutuhkan sebuah abakus untuk mempermudahnya. Tidak diragukan lagi bahwa Fibonacci telah melihat keunggulan dari sistem angka Hindu-Arabis dibanding angka Romawi. Dan dia menunjukkan bagaimana menggunakan sistem tersebut dalam bukunya Liber Abaci. 

    Dan berikut adalah teka-teki yang ia tulis dalam buku tersebut:Seseorang menaruh sepasang kelinci dalam area yang dikelilingi tembok. Berapa banyak pasangan kelinci dapat dihasilkan dari pasangan tadi selama 1 tahun, jika setiap bulannya masing-masing pasangan melahirkan pasangan kelinci baru, dimana mereka mulai produktif pada bulan kedua? Itu lah masalah yang membawa Fibonacci mengenalkan Angka Fibonacci dan Deret Fibonacci yang sangat populer hingga kini. 

    Deret tersebut adalah: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Deret ini menunjukkan bahwa setiap angka merupakan penjumlahan dari 2 angka sebelumnya. Deret ini ternyata ditemukan dan digunakan di banyak area berbeda di bidang matematika dan sains.Deret Fibonacci adalah contoh sebuah deret rekursif. Deret ini menjelaskan dan ditemukan pada spiral lengkungan yang terbentuk alami seperti pada siput, bahkan pada pola benih tanaman bunga. Nama deret Fibonacci sendiri diberikan oleh ahli matematika Edouard Lucas di tahun 1870-an. 

Fibonacci meninggalkan beberapa buku tentang matematika, di antaranya: 

Liber Abbaci (The Book of Calculation), 1202 (1228) 

Practica Geometriae (The Practice of Geometry), 1220 

Liber Quadratorum (The Book of Square Numbers), 1225 

Flos (The Flower), 1225 

    Namun dari sekian banyak, kontribusi terpenting dan paling populer darinya adalah deret Fibonacci. Deret Fibonacci bisa dikatakan sebagai sistem angka dari pola-pola yang terdapat di alam, termasuk sel, kelopak bunga, gandum, madu, pohon cemara dan banyak lagi.

TOKOH MATEMATIKA ALI BIN ABI THALIB

ALI BIN ABI THALIB

(Arab Saudi, 658-695 Masehi)

Sejak kecil Ali bin Abi Thalib menyukai berbagai ilmu dan ikut dengan Nabi Muhammad SAW. Kelak Ali dinikahkan dengan putri Rasul, Fatimah R.A. dan hidup dalam kesederhanaan yang teramat sangat. Meskipun hidup dalam kesederhanaan Ali tidak surut dalam mencari ilmu pengetahuan, tak heran bila Rasul pernah bersabda, "Apabila aku kota ilmu maka Ali adalah gerbangnya".

Ketika awal lambang bilangan dalam matematika menggunakan huruf-huruf seperti yang pernah diajarkan oleh bangsa Romawi tergolong rumit, Ali mempopulerkan lambang bilangan dalam huruf Arab dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 0. Ali juga yang menyederhanakan penulisan lambang bilangan Romawi di mana sepuluh dengan "X", seratus dengan "C", seribu dengan "M" dan seterusnya dipermudah dengan menambahkan angka nol di belakang angka puluhan, ribuan dan satuan dengan bilangan 10, 100, 1000 dan seterusnya, di mana angka "0" dalam bilangan Arab diwakili dengan titik.

TOKOH MATEMATIKA SEKI TAKAKAZU

SEKI TAKAKAZU

(Jepang, 1642-1708)

    Pada zaman hidupnya, Jepang menggunakan sistem lambang bilangan Cina yang berbelit-belit daripada sistem angka Arab untuk melambangkan bilangan. Mereka juga menggunakan alat-alat yang terbuat dari kayu (yang disebut Sangi) yang mula-mula dikembangkan di Tiongkok kuno untuk metode pengukuran luas bangunan. Di masa itu Seki menemukan metode mengukur luas suatu bangunan yang dibatasi oleh kurva-kurva atau volume benda-benda ruang yang tak teratur dengan metode yang sekarang dikenal dengan nama "integral".

    Matematika bangsa Jepang ini sebut Wasan. Sampai saat matematika Barat diperkenalkan di Jepang menjelang akhir abad ke-19, Wasan-lah yang lebih dahulu populer di Jepang. Seki Takakazu adalah salah seorang dari pengajar Wasan yang terkenal.

Materi Matematika Wajib Kelas X Semester 2

 

SMAN 3 – MTK(W)             Nama : ………….………….................. Kelas : …………

 

 

Lembar Belajar 1

(FUNGSI, INVERS DAN KOMPOSISI)

 

Ø Fungsi

 

Fungsi dari X ke Y adalah relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan X dengan tepat satu anggota himpunan Y. Fungsi dapat ditulis sebagai:

 

Di sini, x adalah variabel bebasnya dan y adalah nilai fungsinya.

 

Misal:

Jika

f (x) = x² + 3

Maka

f (1) = ….

f (6) = ….

f (D) = ….

 

f (x + 5) = ….

 

 

Contoh 1

 

Diketahui

f (x) = 2x2 + x - 5 . Tentukan:

a)    f (0) +

f (1)

b)    f (x +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh 2

Diketahui

g(x + 3) = 4x + 7 . Tentukan:

a)       g(5)

b)       g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ø Fungsi Invers

 

Jika

y = f (x)

adalah suatu fungsi yang mempunyai invers, maka

fungsi inversnya adalah:

 

yakni menyatakan x sebagai fungsi dari y (lalu ganti x dengan y dan sebaliknya).

Contoh 2

a)     Tentukan fungsi invers dari y = f (x) = 2x – 4 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)     Tentukan fungsi invers dari

y = 2x + 1 !

3x + 4

Rumus Instan:

Fungsi invers dari fungsi

f (x) =

ax + b cx + d

 

adalah:

 

 

 

Pada soal Contoh 2b) di atas,

 

f (x) =

®    f ^-1(x) =

 

 

 

Ø Komposisi Fungsi

 

 

 

 

 

 

 

Perhatikan bagan!

 

f(1) = …	g(1) = …	g(f(1)) = ….	gof(1) = …
f(2) = …	g(4) = ….	g(f(2)) = ….	gof(2) = …
f(3) = …	g(9) = ….	g(f(3)) = ….	gof(3) = …
f(4) = …	g(16) = ….	g(f(4)) = ….	gof(4) = …

Dapat kita definisikan:

 

Pada bagan di atas, daerah asal fungsi gof adalah

 

Dgof =

 

Sedangkan daerah hasilnya adalah

Rgof =

 

 

Syarat agar fungsi komposisi adalah:

g  f (x) terdefinisi, salah satunya

 

Rf Ç Dg ¹

 

 

 

Contoh 3

Diketahui Tentukan:

f (x) = 2x +1 dan

g(x) = x2 .

a)         f  g(x)

b)       g 

f (x)

c)     Apakah

f  g(x) = g 

f (x) ?

Contoh 4 Diketahui Tentukan:

f (x) = 3x - 6

dan

g(x) = 7x + 7 .

a)         f -1(x)

b)        f -1 

f (x)

c)         f

 f -1(x)

d)       g -1(x)

e)         f  g(x)

f)        ( f

 g)-1(x)

g) f -1  g -1(x)

h)       g -1 

f -1(x)

i)       Samakah hasil f) dan g) ?

j)       Samakah hasil f) dan h) ?

k)        f 

f (x)

Ø Sifat-sifat:

 

 

 

 

Soal Latihan

 

1.      Diketahui fungsi

f (x) = x² - 4x +1. Tentukan:

 

a)        f (3)

b)        f (D)

c)        f ( y)

d)        f (x +1)

 

2.      Diketahui

f (2x -1) =

. Tentukan nilai

f (3) +

f (19) .

 

3.      Jika

g(x + 2) = x2 + 5, maka tentukan

g(x).

4.      Jika

f (x) = 6x - 9 , tentukan

3x + 2

f ^-1(x)!

5.      Jika

f (x) =

x - 5

, tentukan

 

4x + 8

f ^-1(x)!

6.      Diketahui

f (x) =

2 - 3x , tentukan

f ^-1(1) !

 

7.      Perhatikan bagan berikut!

Tentukan:

a) f (4), f (5) dan f (6)

b) h(14) dan h(11)

c) hof (4) dan hof (7)

d) h(f (5)) dan h(f (6))

 

 

8.      Diketahui

f (x) = x -1 dan

g(x) = x² - 3x . Tentukan:

a)        g 

f (x)

b)       f  g(2)

 

 

9.      Diberikan

f (x) = 3x + 7

dan

g(x) = x - 2 . Tentukan:

3

a)      g 

b)     ( f

f ^-1(x)

 g)^-1(x)

 

 

10.     Diberikan

g ^-1(x) =

dan

f (x) = x + 4. Tentukan:

a)       f ^-1  g(x)

b)      g  g  g  g(x)

 

11.       Diberikan

f (x) = x²

+   4x + 5 dengan

x ³ -2. Tentukan

a)              f ^-1(x)

b)              f

 f ^-1(x)

 

12.       Diketahui

f (x) + 2 f æ 1 ö = 6.

ç    ÷

x

Tentukan

f (1) +

f (2).

è    ø

13.       Apakah ( f

 g)  h(x) =

f  (g  h)(x)?

Cobalah tes dengan

 

fungsi

f (x) = 2x + 5,

g(x) = x² + 1, dan

h(x) = x - 3.

 

14.       Didefinisikan

f ⁽²⁾ (x) =

f  f (x),

f ⁽³⁾ (x) =

f  f

 f (x),

f ⁽⁴⁾ (x) =

f  f

 f 

f (x),

… dan seterusnya. Jika

f (x) = 1 - 1 , tentukan

x

f ⁽²⁰⁾ (x) .

 

SMAN 3 – MTK(W)              Nama : ………….…………..................     Kelas : …………

 

 

 

Lembar Belajar 2

(Mencari Fungsi Asal dari Komposisi Fungsi)

 

Jika diketahui komposisi dua fungsi, dan salah satu fungsi asalnya, maka fungsi asal yang lainnya dapat dicari dengan:

1)    metoda ………….

2)    metoda ………….

 

Ingat definisi:

 

 

,

Disini, x adalah variabel bebas. Bisa diganti dengan bentuk lainnya

seperti 2x + 1,

g ^-1(x), dll.    ß Asyiiik… bisa diganti apa aja!

 

Contoh:

 

f  g(2x +1) =

 

f (g(2x +1))

 

f  g(

) = f (g(            ))

 

f  g(g ^-1(x)) =

f (g(g ^-1(x)))

Contoh 1

Diketahui fungsi Tentukan fungsi

f  g(x) = 12x - 4

g(x).

 

dengan

f (x) = 3x + 6 .

 

Jawab:

Cara I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cara II

Contoh 2

 

Diketahui fungsi Tentukan fungsi

f  g(x) = x²

f (x).

- 5x + 6

 

dengan

g(x) = x + 3.

Contoh 3

 

Diketahui fungsi

g  f (x) = 9x²

+  6x + 1 dengan

f (x) = 3x + 1.

Tentukan fungsi g(x).

Soal Latihan

1.      Diketahui fungsi Tentukan g(x).

f  g(x) = 9x - 3

 

dengan

 

f (x) = 3x + 15.

2.      Jika fungsi

g  f (x) = x²

+ 6x - 7

dan

g(x) = x + 1, maka

2

tentukan f (x).

3.      Diberikan fungsi Tentukan f (x).

f  g(x) = x² + 9

 

dengan

g(x) = x + 2.

4.      Diketahui fungsi Tentukan g(x).

g  f (x) = 4x²

+ 6x + 8

dengan f (x) = 2x -1.

 

5.      Jika

g  f (x) = x² -16

dengan

f (x) = 8 - x

dan

g(2 p +1) = 9,

 

tentukan nilai p.

 

6.      Diberikan

f  g(x) = 6x +12

dengan

g(x) = x² -1 (untuk x

³ 1)

 

Tentukan f (8).

 

7.      Diketahui

f  g  h(x) = 2x²

+ 2x + 9

dengan

g(x) = x + 1

dan

 

h(x) = x² + x . Tentukan fungsi

f (x).

 

SMAN 3 Jakarta               Nama : ……….…………………....               Kelas : ……………

 

 

Lembar Belajar 3 RASIO TRIGONOMETRI

 

Definisi Rasio Trigonometri

 

 

sin a

 

cosa

 

tan a

= sisi

sisi

 

=

 

=

depan  = y

miring            r

 

 

 

coseca =

seca =

cot a =

 

 

 

Nilai rasio trigonometri sudut tertentu, tidak tergantung pada besar kecilnya ukuran segitiga siku-sikunya. Nilai rasio trigonometri selalu tetap untuk sudut yang sama.

 

Perhatikan gambar!

 

Maka sin 30^o =

Contoh 1 Perhatikan gambar! a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tentukan nilai dari

sin B, cos B, tan B, dan

sin ² B + cos² B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

Tentukan nilai

secq + cotq .

Contoh 2

Segitiga ABC siku-siku di C dengan panjang AC = k cm dan

ÐABC = a . Tentukan:

a)     panjang BC

b)     panjang AB

c)     panjang CD

d)     besar

e)     besar

ÐACD

ÐDAC

f)      panjang AD

(Nyatakan dalam k dan atau a !)

Contoh 3

Diketahui

tana

= 4, dengan a sudut lancip. Tentukan:

a)     sin a

b)      cot² a - cosec²a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nilai rasio trigonometri pada sudut-sudut istimewa:

 

 

a
sin a
cosa
tan a

Contoh 4

Buktikan sin 30^o = ½.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Identitas Trigonometri

 

adalah persamaan yang memuat rasio-rasio trigonometri dan berlaku untuk …………….….… sudut a .

Bukti:

Contoh 5

Sederhanakan bentuk berikut:

sin ² a tan a + cosa sin a

seca

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh 6

Buktikan:

 

=

sin ⁴ x - cos⁴ x

1 - 2 cos² x       1

Soal Latihan

1.      Perhatikan gambar! Tentukan:

a.       sin a, cosa, dan tan a

b.        sin b , cos b , dan tan b

c.        seca + cosec b

 

 

 

2.      Segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AB = 8 cm dan

ÐC = 60°. Tentukan panjang AC.

3.      Segitiga DEF siku-siku di E dengan panjang DF = 5 cm dan

ÐD = 20°. Tentukan panjang DE dan EF! ( sin 20° » 0,342 cos 20° » 0,940)

dan

 

4.      Sebuah benda yang panjangnya 4 m disandarkan pada dinding sehingga sudut yang dibentuk antara benda dan permukaan tanah sebesar 60^o. Tinggi ujung tangga yang menempel di dinding adalah …. m.

 

5.      Perhatikan gambar!

Nyatakan p dan q dalam r dan a !

 

 

6.     

2

Buktikan

cos 45° = 1       !

 

7.      Perhatikan gambar!

 

Tentukan panjang:

a)    AC

b)    CD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.      Diketahui

sin a

= 2 , dengan a sudut lancip. Tentukan:

3

a)       cosa

b)        seca + tan a

9.      Diketahui Tentukan:

cosa =

p , dengan

4

0 < a

< 90°

sudut lancip.

a)       sin a

b)        sec²a - tan ² a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.     Buktikan identitas berikut:

1 - sin x

 

cos x

=   cos x

1 + sin x

11.  Sederhanakan bentuk trigonometri berikut ini:

(tana.cos a + sina) csca = ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.     Sederhanakan bentuk trigonometri berikut:

sin a

 

1- cos a

-  1+ cos a

sin a

= ...

13.     Sederhanakan bentuk trigonometri berikut:

sin³ x + sin x cos² x

= ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.     Perhatikan segitiga ABC di bawah ini! Panjang AB = 40 cm, AC = 9 cm dan BC = 41 cm. Tentukan sinÐCAD!

 

 

15.  Perhatikan gambar juring lingkaran berjari-jari r berikut ini!

 

 

 

Dari gambar, buktikan bahwa

sin 75° = 1

4

6 + 1     2 .

4

(Petunjuk: Dari gambar

sin  75° = CG ,    CG = EF = ED + DF,

OC

dan

ÐCDE = 30° (kenapa?))

 

SMAN 3 Jakarta               Nama : ……….…………………....               Kelas : ……………

 

 

Lembar Belajar 4 KUADRAN

 

Skema Kuadran

 

 

 

 

 

 

Tabel Tanda

 

Kuadran	x	y	r	sin	cos	tan
I	(+)	(+)	(+)	(+)	(+)	(+)
II
III
IV

Rumus Kuadran I

 

 

Bukti:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rumus Kuadran II

 

sin(90° - q) = cos(90° - q) = tan(90° - q) =

 

 

 

sin(180° - q) = cos(180° - q) = tan(180° - q) =

Bukti:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rumus Kuadran III

 

 

 

sin(180° + q) = cos(180° + q) = tan(180° + q) =

 

 

 

Rumus Kuadran IV

 

 

 

sin(360° - q) = sin(-q) = cos(360° - q) = cos(-q) = tan(360° - q) = tan(-q) =

Contoh 1

a)           Berapakah sin 60^o ? Berapa pula cos 30^o ? Samakah keduanya?

b)           cos 7^o = sin ….

 

 

 

 

 

Contoh 2

Tentukan nilai:

 

a)           sin 150^o

 

b)           cos 120^o

 

c)           tan 225^o

 

d)           cosec 240^o

 

e)           tan 300^o

 

f)            sec 315^o

 

g)           sin 270^o

 

h)           cot 495^o

Contoh 3

 

Diketahui

sin a

= - 2

5

dengan 180° < a

 

< 270°. Tentukan nilai

cosa

dan

tan a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Koordinat Kartesian dan Koordinat Polar

 

Koordinat Kartesian = A (x, y) Koordinat Polar = A (r, θ )

 

Hubungannya:

 

x =

 

y =

r =

 

tanq =

Satuan Radian

 

Sudut dalam satuan radian didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang busur di depan sudut dengan jari-jari dari sebuah juring lingkaran.

 

 

a (rad) =

 

 

 

Konversi radian dan derajat

 

p (rad) = 180°

 

 

 

Contoh 4

Tentukan koordinat polar dari koordinat Kartesian berikut: a)        (6, 6)

b)    (-4, 4    3)

Contoh 5

Tentukan koordinat Kartesian dari koordinat polar berikut: a)        (10, 30^o)

b)    (

2, 315°)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh 6

 

a)    p

4

rad = °

b)    75° = ...

rad

c)    1rad = °

Contoh 7

Perhatikan juring lingkaran di bawah ini.

 

 

Berapa radian dan berapa derajatkah besar sudut α ?

 

 

 

 

 

 

 

 

Soal Latihan

1.      Isilah titik-titik di bawah ini dengan sudut lancip!

 

a.       sin 50° = cos....

b.       cos12° = sin ....

 

c.       sin 90° = cos....

d.       cot 3° = tan ....

 

e. sin 160° = sin ....

f. cos 240° = -cos....

2.      Tentukan nilai dari:

 

a.      cos 90°

b.     sin 60°

c.       tan 30°

d.     sin 135°

e.      cos 210°

f.        tan 300°

g.      cos 330°

h.     cosec 240°

i.        cot 315°

j.        sin 450°

k.     sec 780°

l.        tan 1200°

 

m. sin² 330° + cos² 330°

 

n. cosec² 270° - cot² 270°

3.      Diketahui

cosa

= - 1

3

dengan

90° < a

<180°. Tentukan

nilai

sin a

dan

tan a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.      Jika

sin a = 2

p

2

3

dengan ¹

< a < p

maka

sin a × tana

=….

5.      Jika

tana

= 2 p

dengan

270° < a

< 360°

maka

sin a

= ....

 

6.      Jika

sin a = p

3

dengan 180° < a < 270°

maka

tana = ....

7.    Tentukan koordinat polar dari titik: a. (8, 8)

b. (-1,     3)

c. (2   3,-2)

8.      Tentukan koordinat kartesius dari titik: a. (40, 210^o)

b. (6, 135^o)

c. (

3, 300°)

 

9.      Isilah titik-titik di bawah ini dengan benar!

a.    p rad = °

3

b.      5 p 9

rad = °

c. 13 p 5

rad = °

d. 15° = .......

rad

e. 120° = ........

rad

 

10.           Perhatikan juring lingkaran di bawah ini.

 

 

Berapa radian dan berapa derajatkah besar sudut α ?

 

 

11.          Tentukan nilai:

a) tan( 2 p ) + sin (p )

3

b)  sin ² (7 p ) + cos²æ 7 p ö

ç        ÷

6

6

è        ø

12.     Hitunglah:

sin ² 1° + sin ² 2° + sin ² 3° + ... + sin ² 90° = ....

 

SMAN 3 Jakarta               Nama : ……….…………………....               Kelas : ……………

 

 

Lembar Belajar 5 ATURAN SINUS DAN COSINUS

 

Aturan Sinus

 

Pada segitiga ABC dengan notasi standar, berlaku:

 

Bukti:

Aturan Cosinus

 

Luas Segitiga

 

 

Rumus Heron:

 

dengan s =

Bukti Bagian Pertama:

Jurusan Tiga Angka

Jurusan Tiga Angka menyatakan arah suatu tempat dari tempat lainnya dengan menggunakan tiga angka (tiga digit) dalam satuan derajat, diukur dari arah ………… dengan searah putaran jarum jam.

Contoh:

 

 

Kota B terletak ….. km                       Kota Q terletak ……. km pada jurusan …… dari kota A                                            pada jurusan ……. dari kota P

 

 

Soal Latihan

1.      Sebuah segitiga ABC memiliki ukuran sudut A = 45^o dan sudut B = 30^o. Panjang BC = 6 cm. Tentukan panjang AC!

2.      Gambar berikut menunjukkan kerangka besi yang harus dibuat oleh seorang siswa di bengkel las. Panjang XY = ….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.      Segitiga PQR mempunyai besar sudut Q = 60^o , panjang QR = 4 cm dan PQ = 6 cm. Tentukan panjang PR!

4.      Dari segiempat ABCD ini, panjang CD adalah…

5.      Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka 120^o sejauh 40 km, kemudian berlayar menuju pelabuhan C dengan jurusan 240^o sejauh 80 km. Tentukan jarak pelabuhan A dan C!

6.      Segitiga ABC mempunyai ukuran sisi AB = 8 cm dan BC = 5 cm dengan sudut B = 60^o. Hitung luas segitiga tersebut!

7.      Sebuah segitiga mempunyai ukuran sisi 7 cm, 8 cm dan 9 cm. Tentukan luas segitiga tersebut!

8.      Segitiga PQR mempunyai ukuran sisi PQ = 10 cm, QR = 24 cm, dan PR = 26 cm. Tentukan luas segitiga PQR!

 

9.      Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui panjang AB = 12 cm,

ÐA = 45°

dan

ÐB = 75° ! (Ambil

cos 75° = 0,26)

 

10.     Tentukan luas segienam beraturan yang panjang sisinya 6 cm.

11.     Tentukan keliling segidelapan beraturanyang lingkaran luarnya berjari-jari 10 cm!

 

12.     Buktikan aturan cosinus:

a² = b²

+   c²

-  2bc cos A

 

13.     Perhatikan diagram berikut!

 

 

Dengan menggunakan aturan cosinus, buktikan bahwa resultan dari dua buah gaya (F₁ dan F₂) yang mengapit sudut a adalah

F_R =                                        .

 

14.     Buktikan rumus Heron

L =                                     .

 

SMAN 3 Jakarta               Nama : ……….…………………....               Kelas : ……………

 

 

Lembar Belajar 6 GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

 

Grafik Dasar:

 

y = sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = cos x

y = tan x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 sin x

y = sin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sin (x + 30^o)

y = sin (x – 45^o)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 1 + sin x

y = –1 + 2sin (3x+60^O)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 3cos 2x

y = 2 + cos (x – 60^o)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = tan 2x

Bentuk umum fungsi sin dan cos

 

y = a sin (bx + c) + d y = a cos (bx + c) + d

 

dimana:

a = b = c =

 

d =

 

 

 

Periode (P)

adalah jarak terkecil dimana fungsi trigonometri mempunyai nilai yang sama jika digeser sejauh jarak tersebut.

Jika suatu fungsi f mempunyai periode P, maka

 

 

f (x + P) =

……..

 

 

untuk ………… nilai x. Contoh:

Periode fungsi sinus adalah …..., maka sin (30^o + 360^o) = …. Periode fungsi tangen adalah …..., maka tan (45^o + 180^o) = ….

Hubungan periode P dan koefisien b pada fungsi sin dan cos

 

 

P =

 

 

 

 

 

 

Soal Latihan

 

1.      Gambarkan sketsa grafik

 

y = 3sin x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.      Gambarkan sketsa grafik

y = 2 sin 3x .

3.      Gambarkan sketsa grafik

y = 1 + 4sin x .

4.      Gambarkan sketsa grafik

5.      Gambarkan sketsa grafik

6.      Gambarkan sketsa grafik

y = 5cos 2x .

y = cos(x -10°) + 2.

y = 2sin( 2x - 20°) - 2.

 

7.      Gambarkan sketsa grafik

y = -1 + tan( x + 30°) .

 

8.      Gambarkan sketsa grafik

y = 1 sin 4x

2

untuk

0° £ x £ 90°

9.      Gambarkan sketsa grafik

y = 6 cos 2x

untuk

0 £ x £ p

 

10.     Gambarkan sketsa grafik

y = 3 + 3sin æ3x + p ö

untuk

3

ç            ÷

è            ø

0 £ x £ 4p

3

 

11.     Persamaan grafik fungsi trigonometri berikut ini adalah….

 

 

Periodenya =….

 

12.  Perhatikan grafik fungsi trigonometri berikut ini adalah….

 

 

Periodenya = ….

 

 

 

13.     Periode fungsi

f (x) = 1 + 4sin æ 1 x + p öadalah ….

ç            ÷

2

è            ø

14.     Periode fungsi

g(x) = -1 + tan(2x + 60°)adalah….

15.     Diketahui bahwa jika periode suatu fungsi adalah P, maka

f (x + P) = f (x).

a.      Apakah persamaan setiap nilai x?

sin( 2x + 360°) = sin( 2x)

benar untuk

b.       Apakah periode fungsi

f (x) = sin 2x adalah

360°?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.     Perhatikan grafik fungsi y = 8 sin (x + 30)^o berikut ini!

 

 

 

Titik P dan Q adalah titik potong grafik dengan sumbu X. Koordinat titik P dan Q adalah…

17.     Gambarkan sketsa grafik

y = sec x°. Berapakah periodenya?

18.     Gambarkan sketsa grafik

y = sin ²

x . Berapakah periodenya?

19.     Gambarkan sketsa grafik periodenya!

20.     Gambarkan sketsa grafik:

y = 1- cos x°. Tentukan pula

y = (sin

x + cos x)²

-  2(sin

x)(1 + cos x)

untuk interval

0 £ x £ 2p . Tentukan pula periodenya!

 

CBQ: