Materi Matematika Peminatan Kelas XI MIPA Semester 2

 SMAN 3 Jakarta Nama : ………………………….... Kelas : ……………

LEMBAR BELAJAR 1

PERSAMAAN LINGKARAN

DEFINISI LINGKARAN 

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang …..……………...………

…………………………………………………………………………

Titik tertentu tersebut disebut ……….…. lingkaran dan jaraknya tersebut disebut ………………. .

PERSAMAAN LINGKARAN 

Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r adalah:

   

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r adalah:

       

Persamaan lingkaran “bentuk panjang” (bentuk implisit) adalah:

 

Untuk lingkaran bentuk panjang ini, koordinat titik pusatnya adalah

  P ( …... , ……. )    dan jari-jarinya     

Contoh 1

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran: 

a)  

b) .

Contoh 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, –1) dan berdiameter 10 satuan.

Contoh 3

Titik (2, 5) terletak pada lingkaran  . Tentukan jari-jari lingkaran!

 

Soal Latihan

1. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran-lingkaran berikut ini:

a)  

b)  

c)  

d)  

e)  

2. Buatlah persamaan lingkaran:

a) yang berpusat di titik asal O(0, 0) dan berjari-jari 6 satuan

b) yang berpusat di titik asal O(0, 0) dan berjari-jari   satuan

c) yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari   satuan

d) yang berpusat di titik (2, –4) dan berjari-jari   satuan

e) yang berpusat di titik (–1, 0) dan berdiameter   satuan

f) yang berpusat di titik (0, 1) dan melalui titik (3, 5)

3. Tentukan persamaan lingkaran:

a) yang berdiameter 14 satuan dan berpusat di titik potong garis 

y = x dengan garis 2x – y = 8. 

b) yang berpusat di (4, 1) dan menyinggung sumbu X

c) yang berpusat di (–2, 5) dan menyinggung garis x = 1.

4. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini!

a)  

b)  

c)  

d)  

5. Tentukan nilai p jika:

a) Lingkaran   melalui titik (4, 0)

b) Lingkaran   berjari-jari 5 satuan

c) Lingkaran   melalui titik (11, 0)

6. Buktikan dengan rumus Pythagoras, persamaan lingkaran yang berpusat di P(a,b) dan berjari-jari r adalah  .

7. Buktikan bahwa lingkaran dengan persamaan bentuk implisit   mempunyai pusat di   dan berjari-jari  .

SMAN 3 Jakarta Nama : ………………………….... Kelas : ……………

LEMBAR BELAJAR 2

TITIK, GARIS, DAN LINGKARAN

Jarak Dua Titik

Jarak titik   dan   adalah:

  

Gradien Garis yang Melalui Dua Titik

Gradien garis yang melalui titik   dan   adalah:

 

Persamaan Garis yang Diketahui Gradien dan Satu Titik yang Dilaluinya

Persamaan garis bergradien m yang melalui titik  :

 

Dua Garis Sejajar

Jika dua garis sejajar, maka gradiennya …….

         

Dua Garis Saling Tegak Lurus

Jika dua garis saling tegak lurus, maka hasil kali gradiennya sama dengan …..

      

Jarak Titik ke Garis   

Jarak titik (x1, y1) ke garis   adalah:

 

 

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran 

 

Misalkan lingkaran L mempunyai persamaan  .

Titik P terletak di dalam lingkaran L  

Titik Q terletak pada lingkaran L    

Titik R terletak di luar lingkaran L    

Jika persamaan lingkaran L mempunyai berbentuk  , maka:

Titik P terletak di dalam lingkaran L  

Titik Q terletak pada lingkaran L    

Titik R terletak di luar lingkaran L    

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran 

 

Kedudukan garis terhadap lingkaran ada tiga:

  a. Garis memotong lingkaran di dua titik.

Berlaku:  

b. Garis menyinggung lingkaran (di satu titik).

Berlaku:   

c.  Garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.

Berlaku:   

Di sini,   adalah “diskriminan gabungan” yaitu diskriminan dari persamaan kuadrat hasil ……………… persamaan garis ke persamaan lingkaran. Jika persamaan kuadrat hasil substitusinya berbentuk   atau  , maka 

 

Contoh 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4, –1) dan menyinggung garis 2x + y = 4. 

Contoh 2

Selidiki posisi titik (–4, 7) terhadap lingkaran   Apakah berada di dalam, pada, atau di luar lingkaran?

Contoh 3

Selidiki kedudukan garis 3x + y = 9 terhadap lingkaran  . Apakah memotong, menyinggung atau tidak memotong dan tidak menyinggung?

Soal Latihan

1. Tentukan jarak:

a) Titik   ke titik  

b) Titik   ke titik  

c) Titik   ke garis  .

d) Titik   ke garis  .

e) Titik   ke garis  .

2. Tentukan apakah titik berikut terletak di dalam, pada, atau di luar lingkaran  

a) A(10, 12)

b) B(–9, 9)

c) C(15, 4) 

3. Tentukan kedudukan garis berikut terhadap lingkaran :

a) y = x + 1

b) x + 2y = 13

4. Titik P(a, 2a) terletak di luar lingkaran  . Tentukan semua nilai a yang mungkin!

5. Agar titik S(p, 6) terletak di dalam lingkaran , tentukan nilai-nilai p.

6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2) dan menyinggung garis y = x + 5.

7. Persamaan lingkaran yang berpusat di (3, –4) dan menyinggung garis 2x + ky = 6 adalah  . Tentukan nilai k.

8. Jarak titik (x1, y1) ke garis   adalah  

 .

Apakah pernah terpikir oleh Anda dari mana datangnya rumus ini?

Dengan jujur, jawab dahulu: ya atau tidak!  Jawab : …………..

Jika jawaban Anda “ya” maka buktikanlah rumus ini! 

Jika jawaban Anda “tidak”, maka coba buka kembali buku SMP tentang persamaan garis dan gradien, dan pelajarilah! Setelah itu buktikan rumus yang diminta tersebut!

9. Periksalah bahwa titik P(4,–8) terletak pada lingkaran . Lalu tentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut di titik P!

10. Selidiki bahwa titik T(8, 10) terletak di luar lingkaran . Lalu hitung jarak terdekat titik T ke lingkaran tersebut!

SMAN 3 Jakarta Nama : ………………………….... Kelas : ……………

LEMBAR BELAJAR 3

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Titik 

(x1, y1) pada Lingkaran L.

Misalkan titik (x1, y1) terletak pada lingkaran   Garis g adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik (x1, y1). 

   

Jika persamaan lingkaran L adalah  , maka persamaan garis singgung g adalah:

Jika persamaan lingkaran L adalah  , maka persamaan garis singgung g adalah:

Jika persamaan lingkaran L adalah  , maka persamaan garis singgung g adalah:

Persamaan Garis Singgung Bergradien m.  

Misalkan ada suatu lingkaran. Lalu kita buat (kumpulan) garis-garis bergradien m (karena gradiennya sama maka garis-garisnya sejajar). Kita dapatkan hanya …… buah garis bergradien m yang menyinggung lingkaran tersebut.

 

Persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah:

                       y = 

Persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran berpusat di 

(a, b) berjari-jari r adalah:

Sifat Garis Singgung Lingkaran:

“Garis singgung lingkaran itu selalu menyinggung lingkaran dengan ……………………………… jari-jari di titik singgungnya”

 

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran   di titik (–1, 9).

Contoh 2

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran   di titik (3, 2).

Contoh 3

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran   yang mempunyai gradien 2.

Contoh 4

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran   yang ditarik dari titik (8, 2).

Soal Latihan

1. Tentukan persamaan:

a) garis singgung lingkaran   di titik (9, 10)

b) garis singgung lingkaran   di titik (5, 12)

c) garis singgung lingkaran   di titik (2, 0)

d) garis singgung lingkaran   di titik 

(–2, 3)

2. Bila lingkaran    melalui titik P(–2, 3) maka tentukan persamaan garis singgung lingkaran di P!

3. Tentukan titik potong lingkaran yang berpusat di A(1, 2) dan berjari-jari   dengan sumbu Y! Lalu tentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik potong tersebut!

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran   yang mempunyai gradien 2.

5. Garis singgung yang melalui titik (–2, 2) pada lingkaran    membentuk sudut   dengan sumbu X positif. Tentukan nilai  .

6. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran   yang tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 12 = 0.

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran   yang ditarik melalui titik A(3,1).

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran   yang melalui titik B(–3, –1).  

9. Perhatikan gambar! Segitiga ABC adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi 6 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran L1 dan L2. 

   

       

10. Dari titik   di luar lingkaran  , ditarik dua garis singgung lingkaran. Misalkan dua titik singgungnya adalah titik A dan titik B. Garis kutub (garis polar) adalah garis yang melalui dua titik singgung ini, yaitu garis AB. Buktikan bahwa persamaan garis kutub pada soal ini adalah  .

SMAN 3 Jakarta Nama : ………………………….... Kelas : ……………

LEMBAR BELAJAR 4

HUBUNGAN DUA LINGKARAN

 

Misalkan ada dua lingkaran, masing-masing berjari-jari r1 dan r2. Misalkan pula jarak antara kedua pusat lingkaran tersebut = d. Hubungan dua lingkaran dapat berupa:

a) Sepusat 

Syarat: d = …

b) Saling lepas

Syarat: ………

c) Berpotongan/beririsian (di dua titik)

Syarat: ………

d) Bersinggungan luar

Syarat: ………

e) Bersinggungan dalam

Syarat: ………

f) Di dalam sesamanya

Syarat: ………

Contoh  1

Selidiki hubungan antara lingkaran   dan lingkaran  .

Contoh  2

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di sumbu Y, dan bersinggungan dalam dengan lingkaran   dan berjari-jari 1.

Contoh  3

Tentukan persamaan tali busur persekutuan dan titik potong lingkaran   dan lingkaran  .

Soal Latihan

1. Tentukan hubungan lingkaran   dan lingkaran  .

2. Buktikan bahwa kedua lingkaran berikut:

 

 

bersinggungan di luar, kemudian tentukan titik singgung kedua lingkaran tersebut!

3. Tentukan hubungan antara lingkaran    dan lingkaran  

4. Tentukan persamaan garis (tali busur) yang melalui titik potong kedua lingkaran berikut, kemudian tentukan kedua titik potong tersebut!

 

 

5. Diberikan dua lingkaran:

 

 

Tentukan batasan nilai r agar L1 dan L2 saling berpotongan!

6. Tunjukkan bahwa garis singgung di titik (–1, –3) pada lingkaran

  juga menyinggung lingkaran .  Tentukan pula panjang tali busur persekutuannya tersebut!

   

SMAN 3 Jakarta Nama : ………………………….... Kelas : ……………

LEMBAR BELAJAR 5

KONSEP DASAR SUKU BANYAK

 

Pengertian Suku Banyak (Polinom)

Suku banyak atau polinom adalah bentuk aljabar yang dapat dinyatakan sebagai:

 

dengan   

Di sini, 

  adalah peubah (…………………..)

Pangkat tertinggi x, yaitu n disebut sebagai …….…………

Bilangan   adalah konstanta real, yang disebut sebagai ……….

  adalah ………………. dari suku  

  adalah koefisien dari ……..

  

  adalah koefisien dari ……..

  adalah koefisien dari ……..

  disebut …………….

Sebagai contoh, suku banyak   adalah suku banyak dengan peubah …., berderajat …. , koefisien suku x3 adalah …. , koefisien suku x2 adalah …. , koefisien suku x adalah …., dan (koefisien) suku tetapnya adalah … .  

Contoh lain, suku banyak   adalah suku banyak dengan peubah …. , berderajat …… , dengan koefisien suku tertingginya …. , dan suku tetapnya …… 

Kesamaan Dua Suku Banyak

Misalkan ada dua suku banyak:

 

dan

 

Kedua suku banyak ini adalah suku banyak yang sama   jika dan hanya jika:

 

yakni koefisien dari suku-suku yang …………………… sama pula besarnya.

Pembagian Suku Banyak

Analog dengan bilangan bulat, dalam suku banyak ada juga pembagian. Pada bilangan bulat, sebagai contoh,

  16 dibagi 3 hasilnya ….. sisanya …. 

17 dibagi 3 hasilya …… sisanya …..

18 dibagi 3 hasilnya ….. sisanya …. 

Ditulis : 16 = 3 x … + ….

17 =

18 = 

Di sini, bilangan 3 berperan sebagai ………

Terlihat bahwa sisa selalu ………………… daripada pembagi.

Pada suku banyak,  misalkan suku banyak   dibagi suku banyak lain   (berperan sebagai pembagi), hasilnya  dan sisanya  . Ditulis:

 

Derajat dari s(x) selalu ……………….. dari pada derajat ……

Jika  , maka dikatakan:   ………………… oleh  

       atau:    adalah ………….. dari  .

Contoh 1

Tentukan hasil bagi dan sisa jika suku banyak   dibagi dengan   Tentukan pula derajat dari sisanya!

Contoh 2

Diketahui   dan  . 

a) Tentukan hasil bagi dan sisa jika   dibagi  

b) Berapa derajat dari sisanya?

c) Tentukan nilai  .

d) Jelaskan hubungan antara sisa dan .

 

Soal Latihan

1. Sebutkan nama peubah, derajat serta koefisien-koefisien dari tiap suku banyak berikut: 

a)  

b)  

c)  

d)  

e)  

2. Tentukan:

a) koefisien suku   dari suku banyak  

b) koefisien suku   dari suku banyak  

c) koefisien suku   dari suku banyak  

d) koefisien suku tetap dari suku banyak  

  e) koefisien suku   dari suku banyak  

3. Tentukan nilai k jika diketahui kesamaan suku banyak:

 

4. Diketahui kesamaan pecahan:

 .

Tentukan nilai m dan n.

5. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak berikut ini:

a)   dibagi  

b)   dibagi  

c)   dibagi  

d)   dibagi  

6. Tunjukkan bahwa suku banyak   habis dibagi  . Tentukan pula hasil baginya.

7. Tentukan nilai p dan q jika suku banyak   habis dibagi dengan  

SMAN 3 Jakarta Nama : ………………………….... Kelas : ……………

LEMBAR BELAJAR 6

METODA HORNER

 

Pembagian Suku Banyak

Pada pembagian suku banyak dengan pembagi berbentuk linier, dapat dilakukan dengan metoda ……….. .

Contoh 1

Diketahui   dan  . Tentukan hasil bagi dan sisa jika   dibagi  . Lakukan dengan metoda Horner!

Contoh 2

Misalkan suku banyak   habis dibagi  . Dengan metoda Horner, carilah nilai p.

Contoh 3

Dengan metoda Horner, tentukan hasil bagi dan sisa jika suku banyak   dibagi dengan  . 

Soal Latihan

1. Dengan metoda Horner, tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak:

a)   dibagi  

b)   dibagi  

c)   dibagi  

2. Dengan metoda Horner, tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak:

a)   dibagi  

b)   dibagi  

3. Dengan metoda Horner, tentukan nilai p jika:

a)   dibagi   sisanya 10.

b)   habis dibagi   

4. Suku banyak   habis dibagi  . Tentukan nilai m yang mungkin dengan metoda Horner!

5. Jika   adalah faktor dari   tentukan nilai a. Kemudian tentukanlah faktor-faktor lainnya. 

6. Dengan metoda Horner, tentukan hasil bagi dan sisa jika polinom   dibagi dengan  .

SMAN 3 Jakarta Nama : ………………………….... Kelas : ……………

LEMBAR BELAJAR 7

TEOREMA-TEOREMA SUKUBANYAK

 

Teorema Sisa

“Suku banyak   jika dibagi   maka sisanya = ….    “

 

“Suku banyak   jika dibagi   maka sisanya =  …….   “

Bukti:

Contoh 1

Tentukan sisa pembagian   oleh  

Teorema Faktor

“Misalkan   sebuah suku banyak. 

Maka   adalah faktor dari   jika dan hanya jika ………. “

Dalam hal ini, dikatakan pula   ………….. dibagi oleh  .

Bukti:

Contoh 2

Tentukan  a  sehingga   adalah faktor dari  

Akar-akar dari Persamaan Suku Banyak

Misalkan   sebuah suku banyak.  Akar-akar dari persamaan suku banyak   adalah nilai-nilai …. yang memenuhi persamaan tersebut.

Teorema-teorema Persamaan Suku Banyak

•   adalah faktor dari suku banyak   jika dan hanya jika   adalah akar dari persamaan  .

• Jika suku banyak   berderajat n, maka persamaan   mempunyai maksimum n akar real. 

• Akar-akar rasional dari persamaan suku banyak   dengan koefisien bilangan bulat dapat ditentukan melalui langkah-langkah berikut:

Langkah 1 

Tentukan akar-akar rasional yang mungkin. Akar-akar rasional yang mungkin adalah berbentuk  , dengan p adalah faktor bulat dari  , dan   adalah faktor bulat dari  .

Langkah 2:

Pilih dari semua kemungkinan   pada langkah 1, yang memenuhi persamaan suku banyak  .

 

Contoh 3

Tentukan akar-akar dari  persamaan suku banyak 

 

Contoh 4

Suku banyak   dibagi   sisanya 3, sedangkan jika dibagi   sisanya 6. Tentukan sisanya, jika   dibagi dengan  . 

Soal Latihan

1. Tentukan sisa jika

a)   dibagi  

b)   dibagi  

c)   dibagi  

2. Dengan teorema faktor, tunjukkan bahwa:

a)   dan   adalah faktor-faktor dari  

b)   adalah faktor dari  

3. Hitung nilai p jika   mempunyai faktor  

4. Hitung nilai p jika   habis dibagi   Tunjukkan pula bahwa untuk nilai p tersebut, suku banyak di atas juga mempunyai faktor  

5. Tentukan akar-akar rasional dari persamaan  .

6. Tentukan akar-akar rasional dari persamaan  

7. Tentukan akar-akar rasional dari persamaan  .

8. Jika 2 adalah salah satu akar dari persamaan , tentukan akar-akar yang lain.

9. Suku banyak   dibagi   sisanya –3 , sedangkan jika dibagi   sisanya 5. Tentukan sisanya, jika   dibagi dengan  . 

10. Suku banyak   habis dibagi  , sedangkan jika dibagi   sisanya 3. Tentukan sisanya, jika   dibagi dengan .

11. Diketahui suku banyak   jika dibagi dengan    sisanya  , sedangkan jika dibagi dengan   sisanya . Tentukan sisa jika   dibagi dengan  .

12. Suku banyak    jika dibagi dengan  ,  , dan   sisanya berturut-turut –1, –12, dan 31. Tentukan sisa pembagian   oleh  

SMAN 3 Jakarta Nama : ………………………….... Kelas : ……………

LEMBAR BELAJAR 8

RUMUS-RUMUS PENGAYAAN

 

Bentuk   habis dibagi  

 

 

 

 

Bentuk   habis dibagi  

 

 

 

 

Bentuk   habis dibagi  

 

 

 

 

Rumus Binomial Newton 

 

 

 

 

Segitiga Pascal:

1

1 1

1 2 1

1

1

1

Rumus Kuadrat dari Jumlah

 

 

 

 

Rumus Vieta 

[Kubik] Misalkan akar-akar dari persamaan 

 

adalah    dan  

Maka berlaku:

  

 

 

[Pangkat Empat] Misalkan akar-akar dari persamaan 

 

adalah    dan  

Maka berlaku:

   

 

        

            

Contoh 1

Dengan teorema faktor, buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n,  bentuk    habis dibagi  .

Contoh 2

Tentukan hasil dari pembagian  .

Contoh 3

i) Tentukan koefisien suku   dari penjabaran .

ii) Tentukan koefisien suku   dari penjabaran  .

Contoh 4

Diketahui akar-akar dari persamaan kubik  

adalah    dan  

Tentukan nilai dari:

i)  

ii)  

iii)

iv)  

Soal Latihan

1. Dengan teorema faktor, tunjukkan bahwa bentuk    habis dibagi  .

2. Apakah bentuk   habis dibagi  ? Jika tidak, berapakah sisanya?

3. Tentukan hasil pembagian  .

4. Faktorkan bentuk  .

5. Tentukan hasil pembagian  .

6. Buktikan bahwa bentuk   habis dibagi   Tuliskan pula hasil baginya.

7. Tentukan koefisien suku   dari penjabaran  .

8. Tentukan koefisien suku   dari penjabaran  .

9. Tentukan koefisien suku   dari penjabaran  .

10. Tentukan koefisien suku   dari penjabaran  .

11. Diketahui akar-akar dari persamaan kubik  

adalah    dan   Tentukan nilai dari  

12. Diketahui akar-akar dari   adalah    Tentukan nilai:

a)    

b)   

c)    

13. Jika akar-akar dari persamaan   adalah    dan   tentukan nilai dari:

a)     

b)   

14.    adalah akar-akar dari persamaan  .    Jika   tentukan nilai p.

15. Diketahui akar-akar persamaan 

 

adalah    dan   Tentukan nilai dari:

a)    

b)    

c)    

Catatan: