Pengertian Lingkaran dan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1.        Pengertian Lingkaran

Definisi lingkaran dinyatakan oleh Nuharini, 2015: 138 menyatakan “Lingkaran  adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik  yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut  jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran”.

Gambar 2.1

2.      Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0)

Gambar 2.2

Jika titik Q(x, y) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku:

OQ = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik Q(x, y)  diperoleh:

r2 = (xQ- 0)2 + (yQ- 0)2

r2  = xQ2 + yQ2

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan berjari-jari r adalah:

x2 + y2 = r2

3.      Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a, b)

Gambar 2.3

Jika titik P(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik Q(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari P ke Q.

r = jarak P ke Q

r2 = (PQ)2

r2 = (xQ – xP)2 + (yQ – yP)2

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0

Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a2 + b2 -  r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran:

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (–A, –B)

4.      Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran

Posisi Titik P(x₁, y₁) terhadap Lingkaran x₂ + y2 = r2

1) Titik P(x₁, y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x₁2 + y₁2 < r2.

2) Titik P(x₁, y₁) terletak pada lingkaran, jika berlaku x₁2 + y₁2  = r2.

3) Titik P(x₁, y₁) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x₁2 + y₁2 > r2..

Posisi Titik P(x₁, y₁) terhadap Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2

a.    Titik P(x₁, y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (x₁ – a)2 + (y₁ – b)2 < r2.

b.    Titik P(x₁, y₁) terletak pada lingkaran, jika berlaku (x₁ – a)2 + (y₁ – b)2 = r2.

c.    Titik P(x₁, y₁) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (x₁ – a)2 + (y₁ – b)2 > r2.

Posisi Garis y = mx + n terhadap Suatu Lingkaran

Jika persamaan garis y = mx + n disubstitusikan ke persamaan lingkaran

x2 + y2 +2Ax + 2By + C = 0 diperoleh persamaan:

x2 + (mx + n)2 +2Ax + 2B (mx + n) + C = 0

x2 + m2 x2 + 2mnx + n2 +2Ax + 2Bmx + 2Bn + C = 0

(1 + m2)x2 + (2mn + 2A + 2Bm)x + (n2 + 2Bn + C) = 0

D = (2mn + 2A + 2Bm)2 – 4 (1 + m2) (n2 + 2Bn + C) = 0

Gambar 2.4

Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu:

1)      Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r).

2)      Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).

3)      Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r).

5.      Persamaan Garis Singgung di Titik P (x₁, y₁) pada Lingkaran x2 + y2 = r2

Garis singgung l menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik P(x₁, y₁) karena OP ⊥ garis l.

mOP . ml = –1

Persamaan garis singgungnya pada lingkaran x2 + y2 = r2 di (x₁, y₁) adalah x₁x + y₁y = r2

6.      Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x₁, y₁) pada Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah  (x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) (y – b) = r2

7.      Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x₁, y₁) pada Lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

Dari persamaan garis singgung melalui titik Q(x₁, y₁) pada lingkaran (x – a)2 +(y – b) 2 = r2 adalah:

(x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) (y – b) = r2

x₁x – ax₁ – ax + a2 + y₁y – by₁ – by + b2 = r2

x₁x – a(x₁ + x) + a2 + y₁y – b(y₁ + y) + b2 = r2

x₁x + y₁y – a(x₁ + x) – b(y₁ + y) + a2 + b2 – r2 = 0

Misalnya A = –a, B = –b, dan C = a2 + b2 – r2, persamaannya menjadi:

x₁x + y₁y – a(x₁ + x) – b(y₁ + y) + a2 + b2 – r2 = 0

x₁x + y₁y + A(x₁ + x) + B(y₁ + y) + C = 0

Maka persamaan garis singgung melalui Q (x₁, y₁) pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah  x₁x + y₁y + A(x₁ + x) + B(y₁ + y) + C = 0.